Question

將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內，設點B的對應點為點E．
（1）當m=3時，點B的坐標為______，點E的坐標為______；
（2）隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．
（3）如圖，若點E的縱坐標為-1，拋物線（a≠0且a為常數(shù)）的頂點落在△ADE的內部，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點A、點D、點C的坐標和矩形的性質可以得到點B和點E的坐標；
（2）由折疊的性質求得線段DE和AE的長，然后利用勾股定理得到有關m的方程，求得m的值即可；
（3）過點E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，首先利用勾股定理求得線段DP的長，從而求得線段BF的長，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長，最后求得a的取值范圍．
解答：解：（1）點B的坐標為（3，4），點E的坐標為（0，1）；

（2）點E能恰好落在x軸上．理由如下：∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折疊的性質可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如圖1，假設點E恰好落在x軸上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得，
則有，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即
解得…（7分）

（3）如圖2，過點E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得
∴，
在Rt△AEF中，，EF=5，AE=m
∵AF²+EF²=AE²
∴
解得，
∴，，E（，-1）
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴
即，
解得FG=2，
∴EG=EF-FG=3
∴點G的縱坐標為2，
∵
∴此拋物線的頂點必在直線上，
又∵拋物線的頂點落在△ADE的內部，
∴此拋物線的頂點必在EG上，
∴-1＜10-20a＜2，
解得
故a的取值范圍為．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，是一道有關折疊的問題，主要考查二次函數(shù)、矩形、相似形等知識，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結合的思想，請注意體會．