Question

（2013•晉江市）將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（3，4）

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（0，1）

；
（2）隨著m的變化，試探索：點(diǎn)E能否恰好落在x軸上？若能，請(qǐng)求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖，若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-1，拋物線y=ax2-4

5

ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）由折疊的性質(zhì)求得線段DE和AE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理得到有關(guān)m的方程，求得m的值即可；
（3）過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，首先利用勾股定理求得線段DP的長(zhǎng)，從而求得線段BF的長(zhǎng)，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長(zhǎng)，最后求得a的取值范圍．

解答：解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；

（2）點(diǎn)E能恰好落在x軸上．理由如下：∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如圖1，假設(shè)點(diǎn)E恰好落在x軸上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得EC=

DE2-CD2

=

32-12

=2

2

，
則有OE=OC-CE=m-2

2

，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即42+(m-2

2

)2=m2
解得m=3

2

…（7分）

（3）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得DP=

DE2-EP2

=

32-22

=

5

∴BF=DP=

5

，
在Rt△AEF中，AF=AB-BF=m-

5

，EF=5，AE=m
∵AF²+EF²=AE²
∴(m-

5

)2+52=m2
解得m=3

5

，
∴AB=3

5

，AF=2

5

，E（2

5

，-1）
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴

AF

AB

=

FG

BD

即

2 5

3 5

=

FG

3

，
解得FG=2，
∴EG=EF-FG=3
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2，
∵y=ax2-4

5

ax+10=a(x-2

5

)2+(10-20a)
∴此拋物線的頂點(diǎn)必在直線x=2

5

上，
又∵拋物線y=ax2-4

5

ax+10的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，
∴此拋物線的頂點(diǎn)必在EG上，
∴-1＜10-20a＜2，
解得

2

5

＜a＜

11

20

故a的取值范圍為

2

5

＜a＜

11

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，是一道有關(guān)折疊的問題，主要考查二次函數(shù)、矩形、相似形等知識(shí)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．