Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，過點(diǎn)C作CG∥EF交BA（或其延長線）于點(diǎn)G，連接DF，FG．

（1）FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．

（2）如圖2，若點(diǎn)E是CB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變．

①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷，并給予證明；

②DE，DF分別交BG于點(diǎn)M，N，若BC＝2BE，求．

Answer 1

【答案】（1）FG＝EC，FG∥EC．（2）①結(jié)論不變，見解析，②＝．

【解析】

（1）結(jié)論：FG=EC，FG∥EC．證明四邊形ECGF是平行四邊形即可．
（2）①結(jié)論不變．證明四邊形ECGF是平行四邊形即可．
②如圖2-1中，延長AG到H，使得AH=AD，連接DH，BD，在BC上截取一點(diǎn)K，使得BK=HN，連接MK，DK．首先證明MB=BK，設(shè)BC=a，MN=b，求出BM，BK，在Rt△BMK中，利用勾股定理即可解決問題．

解：（1）結(jié)論：FG＝EC，FG∥EC．

理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，

∴∠FEB＝∠EDC，

∵CG∥EF，

∴∠GCB＝∠FEB＝∠EDC，

∴△GCB≌△EDC（ASA），

∴CG＝DE，

∵EF＝DE，

∴CG＝EF，∵CG∥EF，

∴四邊形ECGF是平行四邊形，

∴FG＝EC，FG∥EC．

（2）①結(jié)論不變．

理由：延長CE到H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，

∴∠FEH＝∠EDC，

∵CG∥EF，

∴∠GCB＝∠FEH＝∠EDC，

∴△GCB≌△EDC（ASA），

∴CG＝DE，

∵EF＝DE，

∴CG＝EF，∵CG∥EF，

∴四邊形ECGF是平行四邊形，

∴FG＝EC，FG∥EC．

②如圖2﹣1中，延長AG到H，使得AH＝AD，連接DH，BD，在BC上截取一點(diǎn)K，使得BK＝HN，連接MK，DK．

∵AH＝AD＝AB，DA⊥BH，

∴DH＝DB，∠HDB＝90°，

∵BK＝HN，∠H＝∠DBK＝45°，

∴△NHD≌△KBD（SAS），

∴DN＝DK，∠HDN＝∠BDK，

∴∠HDB＝∠NDK＝90°，

∵∠MDN＝45°，

∴∠NDM＝∠KDM＝45°，

∵DM＝DM，

∴△NDM≌△KDM，

∴MN＝MK，設(shè)BC＝a，MN＝b，

∵BC＝2BE，

∴EB＝a，

∵BM∥CD，

∴，

∴BM＝a，

∵BK＝NH＝2a﹣a﹣b＝a﹣b，

在Rt△BMK中，∵MK2＝BM2+BK2，

∴b2＝（a）2+（a﹣b）2，

整理得： ＝，

∴．

故答案為：（1）FG＝EC，FG∥EC．（2）①結(jié)論不變，見解析，②．