Question

（2012•大東區(qū)一模）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．過點(diǎn)O作線段AC的垂線段OE，垂足為點(diǎn)E，
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=4，AC=4

5

，求垂線段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據(jù)切線性質(zhì)可證OC∥AD；然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可證AC平分∠DAB；
（2）證明△AEO與△ADC相似，得比例線段求解．

解答：（1）證明：連接OC．
∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵OC=OA（⊙O的半徑），
∴∠OCA=∠OAC（等邊對(duì)等角）．
∴∠OAC=∠DAC（等量代換）．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，則由勾股定理得，
AD=

AC2-CD2

=8．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE=

1

2

AC=2

5

．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

=

AE

AD

．
∴OE=

AE•CD

AD

=

2 5 ×4

8

=

5

．即垂線段OE的長(zhǎng)為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．