Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA予點(diǎn)E。

（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G，如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）， ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD， ∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2×=1 ∴E（0，1） 設(shè)過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，得c=1， 將c=1和點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別代入，得 ，解這個(gè)方程組，得， 故拋物線的解析式為y=； （2）EF=2GO成立， ∵點(diǎn)M在該拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為， ∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為， 設(shè)DM的解析式為y=kx+b1（k≠0）， 將點(diǎn)D、M的坐標(biāo)分別代入，得 ，解得， ∴DM的解析式為y=-x+3， ∴F（0，3），EF=2， 如圖甲，過點(diǎn)D作DK⊥OC于點(diǎn)K，則DA=DK， ∵∠ADK=∠FDG=90°， ∴∠FDA=∠GDK， 又∵∠FAD=∠GKD=90°， ∴△DAF≌△DKG， ∴KG=AF=1， ∴CO=1， ∴EF=2GO； （3）∵點(diǎn)P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設(shè)P（t，2）， ∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2， ①若PG=PC，則（t-1）2+22=（3-t）2+22，解得t=2， ∴P（2，2），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合， ∴Q（2，2）； ②若PG=GC，則（t-1）2+22=22，解得t=1， ∴P（1，2），此時(shí)GP⊥x軸，CP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1， ∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為， ∴Q（1，）； ③若PC=GC，則（3-t）2+22=22，解得t=3， ∴P（3，2），此時(shí) PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形， 如圖乙，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則QH=GH，設(shè)QH=h， ∴Q（h+1，h）， ∴（h+1）2+（h+1）+1=h，解得h1=，h2=-2（舍去）， ∴， 綜上所述，存在三個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，即Q（2，2）或Q或。