Question

（2012•聊城）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是

BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)時(shí)，得出

PBA

=

PCA

，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問(wèn)題得證；
（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線．理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直徑，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E．
由垂徑定理，得BE=

1

2

BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=

25

4

，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴

BE

DP

=

AE

AP

，即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
解得：DP=

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABE∽△ADP是解題關(guān)鍵．