Question

【題目】已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當(dāng)點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形BDEF是菱形，證明見解析

【解析】

（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD。∴∠ABD=∠CBE。

在△ABD與△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS） 。

（2）解：四邊形BDEF是菱形。證明如下：

由（1）△ABD≌△CBE，∴CE=AD。

∵點D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC。

又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD。

∴四邊形BDCE是菱形。

（1）由∠ABC=∠DBE，根據(jù)等量加等量和相等，得∠ABD=∠CBE，從而根據(jù)SAS即可證得結(jié)論。

（2）由三角形外接圓圓心到三個頂點距離相等的性質(zhì)和（1）的結(jié)論，得到四邊形四邊相等，從而得出結(jié)論。