Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=mx²-x+n的對稱軸是直線x=2．
（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止旋轉(zhuǎn)．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．
②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)①過原點(diǎn)，②對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式；
（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽Rt△PGF，則有==，的值是定值，不變化；
②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解．
解答：解：（1）∵拋物線y=mx²-x+n經(jīng)過原點(diǎn)，∴n=0．
∵對稱軸為直線x=2，∴-=2，解得m=．
∴拋物線的解析式為：y=x²-x．

（2）①的值不變．理由如下：
如答圖1所示，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．
在Rt△PAE與Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF．
∴==．
②存在．
拋物線的解析式為：y=x²-x，
令y=0，即x²-x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．
又y=x²-x=（x-2）²-1，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-1）．
若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：
（I）FM=FD．如答圖2所示：

過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，MD===．
設(shè)FM=FD=x，則NF=ND-FD=2-x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：（2-x）²+1=x²，解得：x=，
∴FD=，OF=OD-FD=4-=，
∴F（，0）；
（II）若FD=DM．如答圖3所示：

此時FD=DM=，∴OF=OD-FD=4-．
∴F（4-，0）；
（III）若FM=MD．
由拋物線對稱性可知，此時點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合．
而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動到原點(diǎn)O．
∴此種情形不存在．
綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（4-，0），使△DMF為等腰三角形．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，難度不大．試題的背景是圖形的旋轉(zhuǎn)，需要對旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動過程有清楚的理解；第（3）問主要考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，需要考慮全面，避免漏解．