Question

【題目】如圖①，是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的兩條切線，切點(diǎn)分別為．若，則點(diǎn)叫做的切角點(diǎn)．

（1）如圖②，的半徑是1，點(diǎn)O到直線的距離為2．若點(diǎn)是的切角點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，請(qǐng)用尺規(guī)作出點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）如圖③，在中，，，，是的內(nèi)切圓．若點(diǎn)是的切角點(diǎn)，且點(diǎn)在的邊上，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)為或2

【解析】

（1）作圖見(jiàn)詳解,（2）根據(jù)特殊直角三角形性質(zhì)求出三角形的三邊長(zhǎng)和內(nèi)角度數(shù),分類(lèi)討論找到P點(diǎn)位置,根據(jù)特殊的角度即可解題.

解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求．

（2）在中，，，，

，．

是的內(nèi)切圓，

設(shè)、、分別與相切于點(diǎn)，

∴OD⊥AC，ON⊥BC，OM⊥AB，BM＝BN，CN＝CD，AM＝AD．

，四邊形為矩形．

，矩形為正方形．

設(shè)的半徑為，則，

，．

．

即．

解得．

，．

如圖①，，且、與分別相切于點(diǎn)、，

點(diǎn)是的切角點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)．

如圖②，若的切角點(diǎn)在線段上，與相切于點(diǎn)．

由切角點(diǎn)的概念知．

連接，有．

是的半徑，．

，．

．

，．

．

如圖③，若的切角點(diǎn)在線段上．

與上一種情況類(lèi)似計(jì)算可得．

則．

綜上，的長(zhǎng)為或2．