Question

如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限的圖象交于點B．如果將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到直線l，直線l與y軸交于點C．若點B的橫坐標(biāo)為1，求反比例函數(shù)y=

k

x

和直線l的解析式．

Answer 1

分析：首先由點B的橫坐標(biāo)為1且B點在直線y=x+3上可以求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可以確定反比例函數(shù)的解析式，過B點作BD⊥x軸于D．由直線y=x+3交x軸于點A可以求出A的坐標(biāo)為（-3，0），然后得到OA=3，接著得到AD=BD=4，所以∠BAC=45°，而直線l是y=x+3繞點A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到的，則∠CAO=30°．所以在Rt△ACO中利用三角函數(shù)可以求出CO，接著得到C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答：解：因為點B的橫坐標(biāo)為1，且B點在直線y=x+3上，
則B（1，4）
又因B（1，4）在反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0，x＞0)上，
故4=

k

1

．所以k=4．
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．
過B點作BD⊥x軸于D．
因直線y=x+3交x軸于點A，則A（-3，0），OA=3．
所以AD=BD=4，
所以∠BAD=45°．
因直線l是y=x+3繞點A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到的，
則∠CAO=30°．
所以在Rt△ACO中CO=AO•tan30°=3×

3

3

=

3

．
故C(0，

3

)．
設(shè)直線l為y=k₁x+b（k≠0）．
因

-3k1+b=0 b= 3 .

∴

k1= 3 3 b= 3 .

所以直線l的解析式為y=

3

3

x+

3

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，然后利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)和三角函數(shù)的定義即解決問題．