Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線(xiàn)段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線(xiàn)BC上方的交點(diǎn)為P，直線(xiàn)PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①BE= AC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= AB中，一定正確的是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵由作圖可得P到B、C兩點(diǎn)距離相等， 又∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴PD是BC的垂直平分線(xiàn)，
∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，
∴E是AC的中點(diǎn)，
∴BE= AC，故①正確；
∵PD是BC的垂直平分線(xiàn)，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠A=∠EBA，故②正確；
根據(jù)所給條件無(wú)法證明EB平分∠AED，故③錯(cuò)誤；
∵∠A=∠EBA，
∴AE=BE，
∵BE=EC，
∴EA=EC，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，
∴ED= AB，故④正確．
故選B．
根據(jù)作圖可得P到B、C兩點(diǎn)距離相等，再由D是BC邊的中點(diǎn)可得PD是BC的垂直平分線(xiàn)，由三角形中位線(xiàn)定理及直角三角形的性質(zhì)可得①正確；再根據(jù)角的互余關(guān)系可證明∠A=∠EBA，故②正確；結(jié)論③不能證明，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得④正確．