Question

18、已知方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21，求k的值和方程的兩個根．

Answer 1

分析：先根據(jù)方程有兩個實數(shù)根判斷出k的取值范圍，設(shè)出方程的兩個實數(shù)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立起關(guān)系式，再根據(jù)這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21可列出關(guān)于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程即可解答．

解答：解：∵方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有兩個實數(shù)根，
∴△=4（k-2）²-4（k²+4）≥0，
∴k≤-1，
設(shè)方程的兩根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2）…①，x₁•x₂=k²+4…②，
∵這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21，即x₁²+x₂²=x₁•x₂+21，
即（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=21，
把①、②代入得，4（k-2）²-3（k²+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1，
∴原方程可化為x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5．

點評：此題比較復雜，考查的是一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是先判斷出k的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答．