Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)AB交y軸于A點(diǎn)，交X軸于B點(diǎn)，A（0，6），B（6，0）．點(diǎn)D是線(xiàn)段BO上一點(diǎn)，BN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．

（1）如圖，若OM∥BN交AD于點(diǎn)M．點(diǎn)O作0G⊥BN，交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，求證：AM＝BG

（2）如圖，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)Q，求的值．

（3）如圖，若OC∥AB交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C．請(qǐng)證明：∠CDN＋2∠BDN＝180°．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）欲證明AM=BG，只要證明△AOM≌△BOG即可；
（2）在AD上截取AH=OQ,連接OH,先證明△AOH≌△△OBQ，推出∠AOH=∠OBQ=45°,推出HD=2MD．
（3）如圖，作OE平分∠AOB交AD于K．只要證明△AOK≌△OBC，推出OK=OC，再證明△ODK≌△ODC，推出∠ODK=∠ODC，由∠ODK=∠BDN，可得∠ODC=∠BDN，由此即可解決問(wèn)題.

(1) 在△AOM和△BOG中

∴△AOM≌△△BOG

∴AM＝BG.

② 在AD上截取AH=OQ,連接OH,

∵∠ADO=67.5°∴∠OAD=∠BOQ=22.5°

易證∴△AOH≌△△OBQ

∴∠AOH=∠OBQ=45°

∴∠HOM=90°-45°-22.5°=22.5°=∠BOQ

有三線(xiàn)合一性質(zhì)得HD=2MD

∴===

(3)作∠AOD的角平分線(xiàn)交AD于K

∵0C∥AB ∴∠ABO=∠BOC=∠AOK=∠BOK=450

在△AOK和△BOC中

∴△AOK≌△△BOC

∴OK＝OC

在△KOD和△DOC中

∴△KOD≌△△DOC

∴∠ODC=∠ODK=∠BDN

∴∠CDN+2∠BDN=180°.