Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于F，連接OC交⊙O于D，連接BD并延長(zhǎng)交AC于E，BC=

2

AB．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求

AE

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）連接AF，由圓周角定理知：AF⊥BC，而△ABC是等腰三角形，且BC是底邊，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而可在Rt△ACF中，根據(jù)FC、AC的比例關(guān)系求得∠FCA的度數(shù)，從而判斷出△ABC是等腰直角三角形，由此可證得所求的結(jié)論．
（2）此題需要通過(guò)兩步相似來(lái)解答；由弦切角定理知：∠DAE=∠ABE=∠ODB=∠EDC，由此可證得△CDE∽△CAD，得：CD：AC=DE：AD，連接AD，則△ADE∽△BAE，得：DE：AD=AE：AB，聯(lián)立上述兩式即可得到AE、CD的比例關(guān)系．

解答：（1）證明：連接AF，則AF⊥BC；
∵AB=AC，且AF⊥BC，
∴F是BC的中點(diǎn)，即CF=

1

2

BC=

2

2

AC；
在Rt△ACF中，AC=

2

FC，則∠FCA=45°；
即△ABC是等腰直角三角形，故AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，則AD⊥BE；
∵∠EDC=∠ODB，而∠ODB=∠OBD，
∴∠EDC=∠OBD；
由弦切角定理知：∠DAE=∠OBD，故∠EDC=∠DAE，
易得：△CDE∽△CAD，
∴

CD

AC

=

DE

AD

，而

DE

AD

=

AE

AB

；
即

CD

AC

=

AE

AB

?

AE

CD

=

AB

AC

；
由（1）知：AB=AC，故

AE

CD

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．