Question

如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，BC∥AD．BC=20，DC=16，AD=30，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，運動時間為t（秒）
（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時，使得線段PQ與線段AB相交于點O，且2AO=OB；
（3）當(dāng)t為何值時，使得PQ⊥BD；
（4）當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形

Answer 1

分析：（1）由CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，則可求出答案；
（2）根據(jù)△BOQ∽△AOP即可得出答案；
（3）作QM⊥AD，則△PQM∽△DCB，即可得出答案；
（4）分三種情況討論即可得出答案；

解答：解：（1）CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，∴s=

1

2

（20-t）×16=-8t+160；
（2）由題知：AP=2t-30，則△BOQ∽△AOP，
∴

BQ

AP

=

BO

AO

=2，∴

20-t

2t-30

=2，解得t=16，經(jīng)檢驗知16是方程的根，所以當(dāng)t=16s時，2AO=OB；

（3）作QM⊥AD，
則△PQM∽△DCB，
∴

PQ

DC

=

QM

CB

=

PM

DB

，
∴

16

20

=

t

16

，
解得：t=12.8s；

（4）①當(dāng)PB=PQ時，NQ=BN，∴20-2t=t，t=

20

3

；

②當(dāng)PQ=BQ時，t²+16²=（20-t）²，解得t=3.6；
③當(dāng)BQ=PB時，無解，
綜上所述當(dāng)t=

20

3

或3.6時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題．