Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為2（cm/s）；同時(shí)，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（cm/s）．且設(shè)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t秒，若其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，則另一個(gè)點(diǎn)也將停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖2，當(dāng)PD∥BC時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

①t=　 　；

②△ADP的形狀為　 　（按“邊”分類(lèi)）；

③若此時(shí)恰好有△BDQ≌△CPQ，請(qǐng)求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度x的值；

（2）當(dāng)PD與BC不平行時(shí)，也有△BDQ與△CPQ全等：

①請(qǐng)求出相應(yīng)的t與x的值；

②若設(shè)∠A=α°，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的∠DQP的度數(shù)（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）①2；②等腰三角形；③1.5cm/s；（2）①當(dāng)t=1時(shí)，x=2；當(dāng)t=2時(shí)，x=3；②.

【解析】

（1）①根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，PD∥BC，求出AP，即可解答；②△ADP的形狀為等腰三角形，證明AD＝AP，即可解答；③根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得到BQ＝CQ，即可解答；（2）①求出BD，根據(jù)全等得出要使△BPD與△CQP全等，必須BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16－4x或4x＝16－4x，求出方程的解即可；②先利用定義三角形的性質(zhì)求出∠B的性質(zhì)，再由△BDQ與△CPQ全等，∠BDQ＝∠PQC，由∠B＋∠BDQ＋∠BQD＝180°，∠DQP＋∠PQC＋∠BQD＝180°，得到∠DQB＋∠B，即可解答.

（1）①∵PD∥BC，D為AB中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，

∴AP=CP= AC==4cm，

∴t=4÷2=2．

故答案為：2；

②∵D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，AB=AC，

∴AD=AP，

∴△ADP為等腰三角形，

故答案為：等腰三角形；

③如圖2，

∵△BDQ≌△CPQ，

∴BQ=CQ，

∴BQ=BC= =3cm，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度x的值為：3÷2=1.5（cm/s）；

（2）如圖3，

設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，使△BPD與△CQP全等，

∵AB=AC=12，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴BD=6，

∵∠ABC=∠ACB，

∴要使△BPD與△CQP全等，必須BD=CP或BP=CP，

即6=8﹣2t或2t=8﹣2t，

t1=1，t2=2，

t=1時(shí)，BP=CQ=2，2÷1=2；

t=2時(shí)，BD=CQ=6，6÷2=3；

∴當(dāng)t=1時(shí)，x=2；當(dāng)t=2時(shí)，x=3．

②∵AB=AC，∠A=α°，

∴∠B=∠C=，

∵△BDQ與△CPQ全等，

∴∠BDQ=∠PQC，

∵∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，

∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，

∴∠DQB=∠B=．