Question

（2013•呼和浩特）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為

（

6

7

，0）

；
（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．
①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個交點坐標和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點坐標，然后求得點C關(guān)于x軸的對稱點的坐標C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標即可；
（3）（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：
當Q在OC上，P在OA上，即當0≤t≤1時，此時S=

1

2

OP•OQ，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當Q在CA上，P在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=

1

2

OP×Q點的縱坐標．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當Q，P都在CA上時，即當2＜t＜

24

11

相遇時用的時間，此時S=S_△AOQ-S_△AOP，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達式．
③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x-6）
∵圖象過點（0，-8）
∴a=

2

3

∴二次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x²-

8

3

x-8；

（2）∵y=

2

3

x²-

8

3

x-8=

2

3

（x²-4x+4-4）-8=

2

3

（x-2）²-

32

3

∴點M的坐標為（2，-

32

3

）
∵點C的坐標為（0，-8），
∴點C關(guān)于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）
∴直線C′M的解析式為：y=-

28

3

x+8
令y=0
得-

28

3

x+8=0
解得：x=

6

7

∴點K的坐標為（

6

7

，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，
此時，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴

AP

AO

=

AQ

AC

∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴

6-3t

6

=

18-8t

10

∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2不滿足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情況討論如下，
情況1：0≤t≤1
S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×3t×8t=12t²；
情況2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足為E，
S=

1

2

OP•EQ=

1

2

×3t×

72-32t

5

=-

48

5

t2+

108

5

t
情況3：2＜t＜

24

11

作OF⊥AC，垂足為F，則OF=

24

5

S=

1

2

QP•OF=

1

2

×（24-11t）×

24

5

=-

132

5

t+

288

5

；
③當0≤t≤1時，S=12t²，函數(shù)的最大值是12；
當1＜t≤2時，S=-

48

5

t2+

108

5

t，函數(shù)的最大值是

243

20

；
當2＜t＜

24

11

，S=

1

2

QP•OF=-

132

5

t+

288

5

，函數(shù)的最大值為

24

5

；
∴S₀的值為

243

20

．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．