Question

【題目】如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,點A坐標(biāo)為（0,3）,點B（,）是以O(shè)A為直徑的⊙M上的一點,且tan∠AOB=,BH⊥軸,H為垂足,點C（,）.

（1）求H點的坐標(biāo);

（2）求直線BC的解析式;

（3）直線BC是否與⊙M相切?請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) H（0,）; (2) =- +4;(3)見解析.

【解析】分析：

（1）由已知易得tan∠AOB=，BH=，由此即可解得m=，從而可得點H的坐標(biāo)；

（2）由（1）可知點B的坐標(biāo)為結(jié)合點C的坐標(biāo)即可由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；

（3）設(shè)直線BC與兩坐標(biāo)軸的交點分別為E、F，由（2）中所得解析式可求得點E、F的坐標(biāo)，過點M作MN⊥BC于點N，由S△FME=EF·MN=FM·EO，可證得MN的長等于⊙M的半徑，由此即可得到BC是⊙M的切線.

詳解：

（1）由tan∠AOB=，得=，

∴OH=2BH，又B（,），即=2×=，

∴H點的坐標(biāo)為H（0,）；

（2）設(shè)過點B（,）及點C（,）

的直線解析式為:=+,

把BC坐標(biāo)分別代入,得:,

解得,

∴直線BC的解析式為:=- +4;

（3）BC與⊙M相切，理由如下

如下圖，設(shè)直線BC：分別與軸軸交于點EF,

則點E的坐標(biāo)為（3，0）點F的坐標(biāo)為（0，4），

∴OE=3，OF=4，

∴EF=5，

過圓心M作MN⊥EF，垂足為N，連結(jié)ME，

∵S△FME=EF·MN=FM·EO,

∴得EF·MN=FM·EO，

∵⊙M的直徑為3，

∴⊙M的半徑OM=1.5，

∴MF=4-1.5=2.5，

∴MN==,

即圓心M到直線BC的距離等于⊙M的半徑,

∴直線BC是⊙M的切線.