Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，下列結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=．其中正確的結論有 （　　）

A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正確．只要證明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②正確．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；

④錯誤，設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，可得tan∠CAD==即可得.

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故②正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有

，即b=a，

∴tan∠CAD===，故③錯誤，

所以正確的有2個，

故選B．