Question

如圖，將矩形OABC放置在平面直角坐標系中，點D在邊0C上，點E在邊OA上，把矩形沿直線DE翻折，使點O落在邊AB上的點F處，且tan∠BFD=．若線段OA的長是一元二次方程x²-7x-8=0的一個根，又2AB=30A．請解答下列問題：
（1）求點B、F的坐標；
（2）求直線ED的解析式：
（3）在直線ED、FD上是否存在點M、N，使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-7x-8=0，
∴x_l=8，x₂=-1（舍）．
∴OA=8．
又∵2AB=30A，
∴AB=12．
∵∠EFD=90°．
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°．
∴∠AEF=∠DFB．
∵tan∠DFB=tan∠AEF=
∴設(shè)AF=4k，AE=3k，
根據(jù)勾股定理得，EF=EO=5k，
3k+5k=8．
∴k=1．
∴AE=3，AF=4，EF=EO=5．
∴點B的坐標為（12，8），點F的坐標為（4，8）．

（2）過D作DH⊥AB，
設(shè)FH=x，
∴=tan∠BFD=，
解得：x=6，
∴AH=OD=10，
∴D（10，0）
設(shè)直線ED的解析式是y=kx+b．
∵直線ED經(jīng)過（0，5），（10，0）兩點，
∴，
，
∴y=-x+5；

（3）①如圖，當CM₁∥DF時，
∵直線DF的解析式為：y=-x+，
∴直線CM1的解析式為：y=-x+16，
聯(lián)立：，
解得：x=，y=-，
∴M₁（，-）；
②當NM₂∥CD時，
此時點M₂與M₁關(guān)于點D對稱，
∴M₂（，）．
綜上可得：M₁（，-），M₂（，）．
分析：（1）根據(jù)題意解方程x²-7x一8=0求出OA=8，再根據(jù)條件2AB=30A求出AB=12，這樣就得到B點坐標，然后證出∠AEF=∠DFB，從而得到tan∠AEF=，再根據(jù)折疊，利用勾股定理求出即可得到AF，AE的長，進而得到F點坐標．
（2）首先根據(jù)tan∠BFD=，求出D點坐標，再利用待定系數(shù)法，把E，D兩點坐標代入函數(shù)關(guān)系式，可得到直線ED的解析式．
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)對邊相等得出即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及圖形的翻折變換、平行四邊形、矩形的性質(zhì)以及解直角三角形，熟練地應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)注意分類討論思想的應(yīng)用，不要漏解．