Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度？向下最多可平移多少個(gè)單位長度？

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）由拋物線過A、B、C三點(diǎn)可求出拋物線表達(dá)式；

（2）假設(shè)存在，設(shè)出P點(diǎn)，解出直線CD的解析式，根據(jù)點(diǎn)P到CD的距離等于PO可解出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）應(yīng)分兩種情況：拋物線向上或下平移，設(shè)出解析式，代入點(diǎn)求出平移的單位長度．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．

把C（0，8）代入，得a=﹣1．

∴y=﹣x²+2x+8=﹣（x﹣1）²+9，

頂點(diǎn)D（1，9）；

 

（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在．依題意設(shè)P（2，t）．

由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，

它與x軸的夾角為45°．

設(shè)OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．

則PH=|10﹣t|，點(diǎn)P到CD的距離為．

又．

∴．

平方并整理得：t²+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8．

∴存在滿足條件的點(diǎn)P，P的坐標(biāo)為（2，﹣10±8）．

 

（3）由上求得E（﹣8，0），F(xiàn)（4，12）．

①若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=﹣x²+2x+8+m（m＞0）．

當(dāng)x=﹣8時(shí)，y=﹣72+m．

當(dāng)x=4時(shí)，y=m．

∴﹣72+m≤0或m≤12．

∴0＜m≤72．

②若拋物線向下平移，可設(shè)解析式為y=﹣x²+2x+8﹣m（m＞0）．

由，

有﹣x²+x﹣m=0．

∴△=1﹣4m≥0，

∴m≤．

∴向上最多可平移72個(gè)單位長，向下最多可平移個(gè)單位長．

【點(diǎn)評】此題考查待定系數(shù)求拋物線解析式，第二問考查垂直平分線性質(zhì)，利用距離相等解題，最后一問考拋物線的平移，要注意已知條件和技巧．