Question

（9分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O.

（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設(shè)（1）中的相似比為，若AD︰BC = 2︰3. 請?zhí)骄浚寒攌為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？①當= 1時，是          ；②當= 2時，是             ；③當= 3時，是                 . 并證明= 2時的結(jié)論.

Answer 1

（1）略
（2）① 平行四邊形     ② 直角梯形       ③ 等腰梯形

（9分）（1）證明：∵AD∥BC                               
∴∠OBP = ∠ODE                      …………1分
在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP = ∠DOE                  ………………2分                     
∴△BOP∽△DOE  (有兩個角對應(yīng)相等的兩三角形相似)        ……………3分
（2）① 平行四邊形                     ………………4分
② 直角梯形                       ………………5分
③ 等腰梯形                       ………………6分
證明：∵k = 2時，
∴BP =" 2DE" = AD
又∵AD︰BC = 2︰3        BC = AD
PC =" BC" - BP =AD - AD =AD = ED
ED∥PC , ∴四邊形PCDE是平行四邊形
∵∠DCB = 90°
∴四邊形PCDE是矩形            ………………7分
∴∠EPB =" 90°                  " ……………8分
又∵ 在直角梯形ABCD中
AD∥BC,  AB與DC不平行
∴ AE∥BP,  AB與EP不平行四邊形ABPE是直角梯形     ………………………9分
（本題其它證法參照此標準給分）