Question

【題目】如圖，在線段上任取一點，將線段逆時針旋轉得到線段，將線段順時針旋轉得到線段，連接，，，是的中點，連接交于點，連接交于點．直線分別交，于，兩點，有下列結論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確的結論是（ ）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①過點M作MN⊥BD，垂足為N，則MN∥DE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出N為BD中點，由線段垂直平分線的性質得到BM=DM，再根據(jù)梯形中位線、等腰直角三角形的性質得出MN=BD，則∠BMD=90°，判斷①正確；

②先由等腰直角三角形的性質及三角形內角和定理得出∠BPC=90°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出AP=PC，同理得出EQ=QC，則PQ是△CAE的中位線，由三角形中位線定理得到PQ∥AE，PQ=AE，又AF∥EG，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判斷②正確；

③先由平行四邊形的性質得出FG=AE，又由②知PQ=AE，則FP+GQ=AE=PQ，判斷③正確；

④先證明∠APF=∠DQG，又∠FAP=∠GDQ=45°，根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似得出△APF∽△DQG，由相似三角形對應邊成比例得出 ，同理△BPF∽△EQG，，則，AFEG=BFDG，又AF=EG，判斷④正確．

解：①過點M作MN⊥BD，垂足為N，則MN∥DE∥AB，

∵點M是AE的中點，

∴N為BD中點，即MN垂直平分BD，

∴BM=DM．

∵MN是梯形ABDE的中位線，

∴MN=（AB+ED）=（BC+CD）=BD=BN=ND，

∴∠BMD=90°，

即BM⊥DM，故①正確；

②∵△BMD、△ABC均是等腰直角三角形，

∴∠MBD=∠ACB=45°，

∴∠BPC=90°，即BP⊥AC，

∴AP=PC，

同理EQ=QC，

∴PQ是△CAE的中位線，

∴PQ∥AE，PQ=AE，

又∵AF∥EG，

∴四邊形AFGE為平行四邊形，故②正確；

③∵四邊形AFGE為平行四邊形，

∴FG=AE，

∵PQ=AE，

∴FP+GQ=FG-PQ=AE-AE=AE=PQ，

即FP+GQ=PQ，故③正確；

④∵∠ACB=∠MDB=45°，

∴AC∥DM，

∴∠CPQ=∠MQP，

∵∠APF=∠CPQ，∠MQP=∠DQG，

∴∠APF=∠DQG，

∵∠FAP=∠GDQ=45°，

∴△APF∽△DQG，

∴，

同理△BPF∽△EQG，

∴，

∴，

∴AFEG=BFDG，

∵四邊形AFEG是平行四邊形，

∴AF=EG，

∴AF2=BFDG，故④正確．

故選：D．