Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在m的值使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可知，方程有兩個實數(shù)根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²，再利用x₁x₂+x₁+x₂=0成立求出m的值即可．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×1×m²=-4m+1≥0，
解得m≤

1

4

；

（2）不存在m的值，使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立．理由如下：
∵x₁、x₂是一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²．
∴x₁x₂+x₁+x₂=m²+1-2m
若x₁x₂+x₁+x₂=0成立，則m²+1-2m=0，
解上述方程得，m=1．
∵（1）中m≤

1

4

，（2）中m=1，
∴矛盾，
∴不存在m的值，使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．