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        1. 【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中,對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究:

          問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)EDC邊的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F.求證:S四邊形ABCDSABF.(S表示面積)

          問題遷移:如圖2,在已知銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P.過點(diǎn)P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N.小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值.請問當(dāng)直線MN在什么位置時,△MON的面積最小,并說明理由.

          實(shí)際應(yīng)用:如圖3,若在道路OAOB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部分計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站的一條直線MN為隔離線,建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB66,∠POB30,OP4km,試求△MON的面積.(結(jié)果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66≈0.91,tan66≈2.25,≈1.73

          拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為(6,0)、(6,3)、、(42),過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交,將四邊形OABC分成兩個四邊形,求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值.

          【答案】問題情境:根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADE=SFCE,從而得出結(jié)論。

          問題遷移:根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)PMN的中點(diǎn)時SMON最小,過點(diǎn)MMG∥OBEFG.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論。

          實(shí)際運(yùn)用:。

          拓展延伸:截得四邊形面積的最大值為10

          【解析】

          問題情境:根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADE=SFCE,從而得出結(jié)論。

          問題遷移:根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)PMN的中點(diǎn)時SMON最小,過點(diǎn)MMG∥OBEFG.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論。

          實(shí)際運(yùn)用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論。

          拓展延伸:分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)MN,延長OC、AB交于點(diǎn)D,由條件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面積,再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值;

          當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CBOA分別交M、N,延長CBx軸于T,由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式,就可以求出T的坐標(biāo),從而求出△OCT的面積,再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值,通過比較即可以求出結(jié)論。

          解:問題情境:證明:∵AD∥BC∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE

          點(diǎn)EDC邊的中點(diǎn),∴DE=CE。

          △ADE△FCE中,,

          ∴△ADE≌△FCEAAS)。∴SADE=SFCE。

          ∴S四邊形ABCE+SADE=S四邊形ABCE+SFCE,即S四邊形ABCD=SABF

          問題遷移:當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)PMN的中點(diǎn)時S△MON最小,理由如下:

          如圖2,過點(diǎn)P的另一條直線EFOAOB于點(diǎn)E、F

          設(shè)PFPE,過點(diǎn)MMG∥OBEFG,

          由問題情境可以得出當(dāng)PMN的中點(diǎn)時S四邊形MOFG=SMON

          ∵S四邊形MOFGSEOF,∴SMONSEOF。

          當(dāng)點(diǎn)PMN的中點(diǎn)時SMON最小。

          實(shí)際運(yùn)用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,

          Rt△OPP1中,∵∠POB=30°,

          ∴PP1=OP=2,OP1=2。

          由問題遷移的結(jié)論知,當(dāng)PM=PN時,△MON的面積最小,

          ∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N

          Rt△OMM1中,,即,

          。。

          。

          。

          拓展延伸:如圖4,當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N,延長OC、AB交于點(diǎn)D,

          ∵C,∴∠AOC=45°∴AO=AD。

          ∵A6,0),∴OA=6。∴AD=6

          。

          由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)PN=PM時,△MND的面積最小,

          四邊形ANMO的面積最大。

          PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分別為P1,M1

          ∴M1P1=P1A=2。∴OM1=M1M=2∴MN∥OA。

          。

          如圖5,當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交MN,延長CBx軸于T,

          設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

          ∵C、B6,3),

          ,解得:。

          直線BC的解析式為

          當(dāng)y=0時,x=9∴T9,0)。

          。

          由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)PM=PN時,△MNT的面積最小,

          四邊形CMNO的面積最大。

          ∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4,解得x=5∴M5,4)。

          ∴OM1=5

          ∵P4,2),∴OP1=4。∴P1M1=NP1=1∴ON=3。∴NT=6。

          。

          綜上所述:截得四邊形面積的最大值為10

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          1)連接BC,求證:BCOB

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          1)求∠AEC的度數(shù);

          2)請你判斷AE、BEAC三條線段之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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          A. 18+36π B. 24+18π C. 18+18π D. 12+18π

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          (1)求該型號自行車的進(jìn)價和標(biāo)價分別是多少元?

          (2)若該型號自行車的進(jìn)價不變,按(1)中的標(biāo)價出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價多少元時,每月獲利最大?最大利潤是多少?

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          2)已知點(diǎn)Pn,0)(n≥1),過點(diǎn)P作平行于y軸的直線,交直線y2x+1于點(diǎn)B,交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).

          ①當(dāng)n3時,求線段AB上的整點(diǎn)個數(shù);

          ②若的圖象在點(diǎn)A、C之間的部分與線段AB、BC所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有5個整點(diǎn),直接寫出n的取值范圍.

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          1)求證:CE是⊙O的切線;

          2)連接CD、CB,若AD=CD=a,求四邊形ABCD面積.

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