Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是弧AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作GC∥AE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F．

（1）判斷GC與⊙O的位置關(guān)系，并證明.

（2）若sin∠EAB =，OD=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）相切.證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥AE，又GC∥AE得到OC⊥GC，即可判定；

（2）根據(jù)OC⊥AE,CD⊥AB得到∠OCD=∠EAB，利用求得

，故，連接BE，根據(jù)直徑的性質(zhì)得到∠AEB=90°，利用在Rt△AEB中，，求出，即可求出.

（1）相切.

證明：連接OC，交AE于H.

∵C是弧AE的中點(diǎn)，

∴OC⊥AE.

∵GC∥AE.

∴OC⊥GC.

∴GC是⊙O的切線.

（2）解： ∵OC⊥AE ,CD⊥AB,

∴∠OCD=∠EAB.

∴.

在Rt△CDO中，OD=，

∴.

∴.

連接BE.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°.在Rt△AEB中，

∵,

∴.

∴.