Question

已知：正方形的邊長(zhǎng)為1
（1）如圖①，可以算出正方形的對(duì)角線為

 

，求兩個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，n個(gè)呢
？

（2）根據(jù)圖②，求證△BCE∽△BED；

（3）由圖③，在下列所給的三個(gè)結(jié)論中，通過(guò)合情推理選出一個(gè)正確的結(jié)論加以證明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
注意：你完成整張?jiān)嚲砣�部試題的解答后，如果還有時(shí)間在圖③中發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論（不準(zhǔn)添加輔助線和其它字母）并加以證明，將酌情加1～3分．

Answer 1

分析：（1）主要是根據(jù)勾股定理尋找規(guī)律，容易在數(shù)據(jù)中找到正確結(jié)論；
（2）在每個(gè)三角形中，根據(jù)勾股定理易求出每條邊的長(zhǎng)度，可利用三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似來(lái)判定；
（3）欲證∠BEC+∠DFE=45°，在本題中等于45°的角有兩個(gè)，即∠AEB和∠BEF，所以在證明第三個(gè)結(jié)論時(shí)，需把這兩個(gè)角想法轉(zhuǎn)移到已知的一個(gè)角中去，利用等腰梯形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）由勾股定理知，在第一個(gè)圖形中，對(duì)角線長(zhǎng)=

2

=

12+1

，
第二個(gè)圖形中，對(duì)角線長(zhǎng)=

5

=

22+1

，
第三個(gè)圖形中，對(duì)角線長(zhǎng)=

10

=

32+1

，
所以第n個(gè)圖形中，對(duì)角線長(zhǎng)=

n2+1

；

（2）在△BCE中，BC=1，BE=

2

，EC=

5

，
在△BED中，BE=

2

，BD=2，ED=

10

，
所以

BE

BC

=

BD

BE

=

ED

EC

=

2

，
∴△BCE∽△BED；

（3）選�、�，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四邊形CEFD為等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似的判定、勾股定理的運(yùn)用、等腰梯形的性質(zhì)．