Question

【題目】已知：如圖，B、C分別是∠PAQ的兩邊AP，AQ上的點，直線l垂直平分BC。

（1）尺規(guī)作圖：在直線1上求作一點O，使得點O到AP、AQ距離相等(不寫作法，保留作圖痕跡)；

（2）過O點作OE⊥AP，OF⊥AQ，垂足分別為E、F。求證BE=CF

Answer 1

【答案】（1）圖見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意作∠QAP的角平分線與l的交點即為O點；

（2）連接BO、CO，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得OE=OF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BO=CO，然后利用“HL”證明Rt△BOE和Rt△COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．

(1)如圖所示，AO是∠QAP的角平分線，AO與l的交點即為所求O點；

(2)證明：連接BO、CO，

∵AO是∠BAC的平分線，

∴OE=OF，

∵l是BC邊的垂直平分線，

∴BO=CO，

在Rt△BOE和Rt△COF中，

∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL)，

∴BE=CF.