Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，直線y= x+1與拋物線y= x2+bx+c交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為4．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線y= x2+bx+c 交x軸正半軸于點C，橫坐標為t的點P在第四象限的拋物線上，過點P作AB的垂線交x軸于點E，點Q為垂足，設CE的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量t的取值范圍：
（3）在（2）的條件下，過點B作y軸的平行線交x軸于點D，連接DQ．當∠AQD=3∠PQD時，求點P坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： x+1=0，解得：x=﹣2，

∴點A（﹣2，0）．

將x=4代入得：y= ×4+1=3，

∴B（4，3）．

將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ ﹣3．

（2）

解：如圖1所示：

令y=0得：0= x2﹣ ﹣3，解得：x1=﹣2，x2=3，

∴點C的坐標為（3，0）．

設點P的坐標為（t， t2﹣ t﹣3）．

∵EC⊥AB，

∴設EC的解析式為y=﹣2x+b．

將點P的坐標代入得：﹣2t+b= t2﹣ t﹣3，解得b= t2+ t﹣3．

設直線EC的解析式為y=﹣2x+ t2+ t﹣3．

令y=0，得：2x+ t2+ t﹣3=0，解得：x= t2+ t﹣ ．

∴點E（ t2+ t﹣ ，0）．

∴EC=3﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t+ ．

∴d=﹣ t2﹣ t+ ．

∵點P在第四象限，

∴0＜t＜3．

（3）

解：如圖2所示：過點d作CF⊥AB，垂足為F．

∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，

∴∠PQD=45°．

∴∠DQF=45°．

∴QF=DF．

∵AB的解析式為y= x+1，

∴tan∠FAD= ，即DF= AF．

∴Q為AF的中點．

∵QP∥DF，

∴E為AD的中點．

∴E（1，0）．

∴EC=2，即2=﹣ t2﹣ t+ ，解得x=2或x=﹣5．

∵點P在第四象限，

∴x=2，

當x=2時，y=﹣2．

∴點P的坐標為（2，﹣2）．

【解析】（1）先求得點A和點B的坐標，將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得b、c的值可得到拋物線的解析式；（2）先求得點C的坐標，設點P的坐標為（t， t2﹣ t﹣3），EC的解析式為y=﹣2x+b，將點P的坐標代入可求得b的值，得到直線EC的解析式為y=﹣2x+ t2+ t﹣3，接下來，求得點E的坐標，依據(jù)d=EC可得到d與t的函數(shù)關(guān)系是；（3）過點D作CF⊥AB，垂足為F．先證明△QFD為等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD= ，z則Q為AF的中點，故此E為AD的中點，則可得到EC的長，由d和t的函數(shù)關(guān)系是可得到t的值．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和函數(shù)關(guān)系式是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式．