Question

如圖，直線經(jīng)過A（1，0），B（0，1）兩點，點P是雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上任意一點，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點E，PN的延長線與直線AB交于點F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過點E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，將求線段AF、BE的問題轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形△FCA，△DBE中求斜邊的長，再做乘法，利用點P（x₀，y₀）在雙曲線y=

1

2x

上，列式求解；
（2）由A、B兩點坐標(biāo)可知，直線AB解析式的一次項系數(shù)為-1，平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，將直線l的解析式與雙曲線解析式聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)l與雙曲線的唯一公共點時，△=0求b的值即可．

解答：（1）證明：過點E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，
則△AOB，△FCA，△DBE為等腰直角三角形，
設(shè)P（x₀，y₀），則FC=y₀，DE=x₀，AF=

2

y₀，BE=

2

x₀，
∴AF•BE=

2

y₀•

2

x₀=2x₀y₀，
又y₀=

1

2x0

，
即2x₀y₀=1，
∴AF•BE=1；

（2）解：平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，設(shè)l與雙曲線的唯一公共點Q坐標(biāo)為（x，y），
聯(lián)立

y=-x+b y= 1 2x

，得2x²-2bx+1=0，
由△=4b²-8=0，得b=

2

（-

2

舍去），
∴x=

2

2

，y=

2

2

，
即Q點的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

2

）．

點評：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，告訴我們注意通過解方程組求出交點坐標(biāo)，同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．