Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-1）x+2m-1=0．
（1）若其根的判別式為16，求m的值及該方程的根．
（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，且x12+x22=10，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（m-1）²-4（2m-1）=16，再解關(guān)于m的一元二次方程，然后分別把m的值代入原方程，再利用因式分解法求解；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m-1，由x12+x22=10得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，則（m-1）²-2（2m-1）=10，解出m，然后利用判別式確定滿足條件的m的值．

解答：解：（1）△=（m-1）²-4（2m-1）=16，
整理得m²-10m-11=0，
解得m₁=-1，m₂=11，
當(dāng)m=-1時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=-1；
當(dāng)m=11時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=3，x₂=7；

（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m-1，
∵x12+x22=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴（m-1）²-2（2m-1）=10，
整理得m²-6m-7=0，解得m₁=7，m₂=-1，
當(dāng)m=7時(shí)，△=（7-1）²-4（2×7-1）＜0，
∴m的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．