Question

20．某廠家在甲、乙兩家商場(chǎng)銷(xiāo)售同一商品所獲利潤(rùn)分別為y_甲，y_乙（單位：元），y_甲，y_乙與銷(xiāo)售量x（單位：件）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)你根據(jù)圖象解決下列問(wèn)題：
（1）分別求出y_甲、y_乙與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)在廠家有商品500件，單獨(dú)分配給甲商場(chǎng)或乙商場(chǎng)，分配給哪個(gè)商場(chǎng)，廠家獲得的利潤(rùn)更高？請(qǐng)說(shuō)明理由并求出最大利潤(rùn)．
（3）現(xiàn)在廠家有商品1200件，分配給甲商場(chǎng)和乙商場(chǎng)，如何分配，廠家獲得的總利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y_甲=k₁x（k₁≠0），把x=600，y_甲=480代入即可；當(dāng)0≤x≤200時(shí)，設(shè)y_乙=k₂x（k₂≠0），把x=200，y_乙=400代入即可；當(dāng)x＞200時(shí)，設(shè)y_乙=k₃x+b（k₃≠0），把x=200，y_乙=400和x=600，y_乙=480代入即可；
（2）當(dāng)x=500時(shí)求出y_甲，當(dāng)x=500時(shí)求出y_乙，即可比較求出答案；
（3）設(shè)分配給甲商場(chǎng)a件，則分配給乙商場(chǎng)（1200-a）件，利用函數(shù)增減性得出答案．

解答 解：（1）設(shè)y_甲=k₁x（k₁≠0），由圖象可知：
當(dāng)x=600時(shí)，y_甲=480，
代入得：480=600k₁，
解得：k₁=0.8，
所以y_甲=0.8x（x為非負(fù)整數(shù)）；
當(dāng)0≤x≤200時(shí)，設(shè)y_乙=k₂x（k₂≠0），
由圖象可知：
當(dāng)x=200時(shí)，y_乙=400，
代入得：400=200k₂，
解得：k₂=2，
所以y_乙=2x；
當(dāng)x＞200時(shí)，設(shè)y_乙=k₃x+b（k₃≠0），
由圖象可知：由圖象可知：
當(dāng)x=200時(shí)，y_乙=400，
當(dāng)x=600時(shí)，y_乙=480，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{200{k}_{3}+b=400}\\{600{k}_{3}+b=480}\end{array}\right.$，
解得：k₃=0.2，b=360，
所以y_乙=0.2x+360；
即y_乙=$\left\{\begin{array}{l}{2x（0≤x≤200）}\\{0.2x+360（x＞200）}\end{array}\right.$（且x為正整數(shù)）；

（2）∵當(dāng)x=500時(shí)，y_甲=0.8×500=400（元），
當(dāng)x=500時(shí)，y_乙=0.2×500+360=460（元），
故乙商場(chǎng)的利潤(rùn)更高為460元．

（3）設(shè)分配給甲商場(chǎng)a件，則分配給乙商場(chǎng)（1200-a）件，根據(jù)題意可得：
當(dāng)a≥1000時(shí)，總利潤(rùn)為：0.8a+2（1200-a）=-1.2a+2400，
當(dāng)a＜1000時(shí)，總利潤(rùn)為：0.8a+0.2（1200-a）+360=0.6a+600，
當(dāng)-1.2a+2400=0.6a+600時(shí)，
解得：a=1000，
根據(jù)函數(shù)增減性可得：當(dāng)a=1000時(shí)，總利潤(rùn)最大，為1200元，
即分配甲商場(chǎng)1000件，乙商場(chǎng)200件，所獲利潤(rùn)最大，為1200元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能正確用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．