Question

2002年在北京召開的世界數(shù)學大會會標圖案是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”．若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點B₁、B₂、B₃、…、B_n和C₁、C₂、C₃、…、C_n分別在直線y=-

1

2

x+

3

+1和x軸上，則第n個陰影正方形的面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)陰影正方形的邊長與大正方形邊長有個對應(yīng)關(guān)系，分別表示出每個陰影部分的面積，得出規(guī)律，即可得出第n個陰影正方形的面積．

解答：解：∵B₁點坐標設(shè)為（t，t），
∴t=-

1

2

t+

3

+1，
解得：t=

2

3

（

3

+1），
∴B₁N₁=

1

2

t=

1

3

（

3

+1），那么大正方形邊長為t，
陰影正方形邊長為

3

2

t-

1

2

t=

3 -1

2

×

2

3

（

3

+1）=

2

3

，
∴第1個陰影正方形的面積是（

2

3

）²，
∴每個相鄰正方形中多邊形，可以理解成是一系列的相似多邊形，相似比為2：3，
∴第2個陰影正方形的面積為：（

2

3

•

2

3

）²=（

2

3

）⁴，
第3個陰影正方形的面積為：（

2

3

•

2

3

•

2

3

）²=（

2

3

）⁶，
∴第n個陰影正方形的面積為：（

2

3

）²ⁿ，
故答案為：（

2

3

）²ⁿ．

點評：此題主要考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，得出相似多邊形，相似比為2：3，進而得出正方形面積是解決問題的關(guān)鍵．