Question

已知，二次函數(shù)y=-

1

2

x2-(m+3)x+m2-12的圖象與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜0，x₂＞0，圖象與y軸交于點(diǎn)C，OB=2OA；
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上，點(diǎn)A的左側(cè)，求一點(diǎn)E，使△ECO與△CAO相似，并說明直線EC經(jīng)過（1）中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)D；
（3）過（2）中的點(diǎn)E的直線y=

1

4

x+b與（1）中的拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M′、N′，點(diǎn)P為線段MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交（1）中所求拋物線于點(diǎn)Q，是否存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12？若存在，求出滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=-

1

2

x²-（m+3）x+m²-12的圖象與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與OB=2OA，即可求得m的值，則可得二次函數(shù)的解析式；
（2）由二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4，求得A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)E（x，0），則OE=-x，根據(jù)相似三角形的判定方法即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后設(shè)直線EC解析式為：y=k′x+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線EC的解析式，又由拋物線頂點(diǎn)D（1，

9

2

），分別將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解析式的左右式，即可得直線EC經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)D；
（3）由直線y=

1

4

x+2與（1）中的二次函數(shù)y=-

1

2

x²+x+4相交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)M（x_m，y_m），N（x_n，y_n），可得MM′=y_m，NN′=y_n．又由y_m，y_n是方程8y²-35y+36=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求得y_m+y_n的值，繼而求得點(diǎn)P（t，

1

4

t+2），點(diǎn)Q（t，-

1

2

t²+t+4）．又由S_△QMN=S_△QMP+S_△QNP與S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12，則可求得當(dāng)t=-

1

2

或t=2時(shí)，S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-

1

2

x²-（m+3）x+m²-12的圖象與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，
∴x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=-2（m²-12）．
又∵x₁＜0，x₂＞0，OB=2OA，
∴x₂=-2x₁．（3分）
整理得：m²+8m+16=0，（1分）
解得m₁=m₂=-4．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4．（1分）

（2）∵二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4，
∴點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）．
設(shè)點(diǎn)E（x，0），則OE=-x．
∵∠COA=∠EOC=90°，
要使△ECO∽△CAO，
只有

OC

OE

=

OA

OC

．
∴

4

-x

=

2

4

，
∴x=-8．
∴當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（-8，0），△ECO與△CAO相似．（1分）
設(shè)直線EC解析式為：y=k′x+b′，
將點(diǎn)E、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：

b′=4 -8k′+4=0

，
解得

k′= 1 2 b′=4

，
∴直線EC的解析式為：y=

1

2

x+4．（2分）
∵拋物線頂點(diǎn)D（1，

9

2

），（2分）
分別將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解析式的左右式，得到左式=右式．
∴直線EC經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)D．（1分）

（3）存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．（1分）
∵直線y=

1

4

x+b過點(diǎn)E（-8，0），
∴0=

1

4

×（-8）+b，
∴b=2．
∴y=

1

4

x+2．
∴x=4（y-2）
∵直線y=

1

4

x+2與（1）中的二次函數(shù)y=-

1

2

x²+x+4相交于M、N兩點(diǎn)，
∴y=-

1

2

×[4(y-2)]2+4（y-2）+4，整理得8y²-35y+36=0．
設(shè)M（x_m，y_m），N（x_n，y_n），
∴MM′=y_m，NN′=y_n．
∴y_m，y_n是方程8y²-35y+36=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴y_m+y_n=

35

8

．
∴S_梯形MM'N'N=

1

2

（y_m+y_n）（x_n-x_m）．（1分）∵點(diǎn)P在直線y=

1

4

x+2上，點(diǎn)Q在（1）中的拋物線上，
∴點(diǎn)P（t，

1

4

t+2），點(diǎn)Q（t，-

1

2

t²+t+4）．
∴PQ=-

1

2

t²+t+4-

1

4

t-2=-

1

2

t²+

3

4

t+2，
分別過M、N作直線PQ的垂線，垂足為點(diǎn)G、H，
則GM=t-x_m，NH=x_n-t．
∴S_△QMN=S_△QMP+S_△QNP=

1

2

PQ(xn-xm)=

1

2

PQ•（x_n-x_m）=

1

2

（-

1

2

t²+

3

4

t+2）（x_n-x_m）．（1分）
∵S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12，
∴

1 2 (ym+yn)(xn-xm)

1 2 (- 1 2 t2+ 3 4 t+2)(xn-xm)

=

35

12

，
∴

35

8

=

35

12

(-

1

2

t2+

3

4

t+2)．
整理得：2t²-3t-2=0，
解得：t₁=-

1

2

，t₂=2．
∴當(dāng)t=-

1

2

或t=2時(shí)，S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．（1分）

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，根與系數(shù)的關(guān)系點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及三角形的面積問題等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．