Question

在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90º得到AE，連結(jié)EC．
小題1:（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；

小題2:（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時，DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，且∠ACB="45" º，     AC＝，試求線段CF長的最大值．
 

Answer 1

小題1:解：（1）① 線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系分別是垂直和相等.
…………1分
② ①中的結(jié)論仍然成立.
證明：畫出圖形. …………2分.
              如圖1，由題意可知，，.
，
即.
∴ △BAD≌△CAE .
∴ BD=CE，.
∴.
即CE⊥BD.               …………4分
小題2:（2）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥AC，與CB的延長線交于點(diǎn)H.
由（1）的方法可證CE⊥BD.
過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G.
可證△AGD∽△DCF.
∴ .
∵ ∠ACB="45" º，AC＝，
∴ .
設(shè) .
∴ .
即，0＜x≤3.
∴ .
∴ 線段CF長的最大值為

略