Question

16．如圖，拋物線的頂點坐標為（2，1），且經(jīng)過點A（1，0），與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式和B點的坐標．
（2）M是x軸上一點，且△MAB是以AB為腰的等腰三角形，試求M點坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x-2）²+1，再把A點坐標代入可求出a的值，從而得到拋物線解析式；然后計算自變量為0時的函數(shù)值可得到B點坐標；
（2）先利用勾股定理計算出AB=$\sqrt{10}$，討論：以點A點圓心，AB為半徑畫弧交x軸于M′和M″或以點B點圓心，BA為半徑畫弧交x軸于M，然后分別寫出M′、M″和M點的坐標即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+1，
把A（1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x-2）²+1；
當x=0時，y=-（x-2）²+1=-3，
所以 B（0，-3）；
（2）AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
以點A點圓心，AB為半徑畫弧交x軸于M′和M″，則M′（1+$\sqrt{10}$，0），M″（1-$\sqrt{10}$，0），
以點B點圓心，BA為半徑畫弧交x軸于M，則M（-1，0），
綜上所述，M點的坐標為（1+$\sqrt{10}$，0）或（1-$\sqrt{10}$，0）或（-1，0）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．