Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，射線AG為⊙O的切線，點A為切點，點C為射線AG上任意一點，連接OC交⊙O于點E，過點B作BD∥OC交⊙O于點D，連接CD，DE，OD．

（1）求證：△OAC≌△ODC；

（2）①當∠OCA的度數為　 　時，四邊形BOED為菱形；

②當∠OCA的度數為　 　時，四邊形OACD為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°．

【解析】

（1）依據SAS可證明△OAC≌△ODC；

（2）①依據菱形的四條邊都相等，可得△OBD是等邊三角形，則∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性質得出∠ACD=90°，則∠ACO=45°．

（1）證明：∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵BD∥OC，

∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，

∴∠AOC＝∠COD，

∵OA＝OD，OC＝OC，

∴△OAC≌△ODC（SAS）；

（2）①∵四邊形BOED是菱形，

∴OB＝DB．

又∵OD＝OB，

∴OD＝OB＝DB．

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠OBD＝60°．

∵CO∥DB，

∴∠AOC＝60°，

∵射線AG為⊙O的切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，

②∵四邊形OADC是正方形，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝∠DCO，

∴∠OCA＝45°，

故答案為：30°，45°．