Question

已知拋物線y=

1

2

x²+px+q與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（B在A的右邊），又拋物線與y軸相交于C點(diǎn)，且滿(mǎn)足

1

x1

+

1

x2

=

5

4

（1）求證：4p+5q=0；
（2）問(wèn)是否存在一個(gè)圓O'，使它經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與y軸相切于C點(diǎn)？若存在，試確定此時(shí)拋物線的解析式及圓心O'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理即可表示出x₁+x₂以及x₁x₂的表達(dá)式，可將已知的x₁、x₂的倒數(shù)和變形為x₁+x₂及x₁x₂的形式，然后代值計(jì)算，即可證得所求的結(jié)論．
（2）假設(shè)存在符合條件的⊙O′，那么這個(gè)圓必同時(shí)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，根據(jù)切割線定理即可求得q的值，進(jìn)而可確定拋物線的解析式和A、B、C的坐標(biāo)．
①當(dāng)A、B在原點(diǎn)的同一側(cè)時(shí)，由于⊙O′同時(shí)經(jīng)過(guò)A、B，則圓心O′必在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，由此可確定點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)，而⊙O′與y軸相切于C點(diǎn)，那么O′、C的縱坐標(biāo)相同，即可得到所求的O′坐標(biāo)；
②當(dāng)A、B分別位于原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，此時(shí)⊙O′與y軸相交，因此不存在符合條件的O′．

解答：（1）證明：由已知，∵x₁、x₂是一元二次方程

1

2

x²+px+q=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴

x1+x2=-2p x1•x2=2q

（3分）
又∵

1

x1

+

1

x2

=

5

4

，
即

x1+x2

x1x2

=

5

4

∴

-2p

2q

=

5

4

，
∴4p+5q=0．（4分）

（2）答：存在滿(mǎn)足條件的⊙O'．其理由如下：
設(shè)⊙O'滿(mǎn)足條件，則OC是⊙O'的切線，由切割線定理知OC²=OA•OB=|x₁x₂|．（5分）
又∵拋物線y=

1

2

x²+px+q與y軸交于C點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，q），
∴OC=|q|．
∴q²=|2q|，
即q²=±2q．
解得q₁=0，q₂=2，q₃=-2．（6分）
①當(dāng)q=0時(shí)，x₁•x₂=0不滿(mǎn)足題設(shè)條件．（7分）
②當(dāng)q=2時(shí)，p=-

5

2

，此時(shí)拋物線方程y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（8分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=

5

2

．（9分）
∵圓心O'在AB的垂直平分線上，O'C⊥y軸，
∴圓心O′的坐標(biāo)為（

5

2

，2）；（10分）
③當(dāng)q=-2時(shí)，p=

5

2

，
此時(shí)拋物線為y=

1

2

x²+

5

2

x-2，
∵x₁•x₂=-4＜0，
∴A、B在y軸的兩側(cè)．
故過(guò)A、B的圓必與y軸相交，不可能相切，
因此q=-2時(shí)也不滿(mǎn)足題設(shè)條件．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的⊙O′是存在的，它的圓心坐標(biāo)為O′（

5

2

，2），
此時(shí)拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、切線的性質(zhì)、切割線定理、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度偏大．