Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF平分∠BCD，交EA的延長線于點F，且BC=4，CD=2，給出下列結論：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE= ；④AF=2 ，其中正確結論的個數(shù)有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°， ∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠CAD=∠ADB，
∴∠BAE=∠CAD，故①正確；
∵BC=4，CD=2，
∴tan∠DBC= = ，
∴∠DBC≠30°，故②錯誤；
∵BD= =2 ，
∵AB=CD=2，AD=BC=4，
∵△ABE∽△DBA，
∴ ，
即 ，
∴AE= ；故③正確；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=45°，
∴∠ACF=45°﹣∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，
∴∠EAC=2∠ACF，
∵∠EAC=∠ACF+∠F，
∴∠ACF=∠F，
∴AF=AC，
∵AC=BD=2 ，
∴AF=2 ，故④正確；
故選C．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．