Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD，交EA的延長線于點(diǎn)F，且BC=4，CD=2，給出下列結(jié)論：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE= ；④AF=2 ，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°， ∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠CAD=∠ADB，
∴∠BAE=∠CAD，故①正確；
∵BC=4，CD=2，
∴tan∠DBC= = ，
∴∠DBC≠30°，故②錯(cuò)誤；
∵BD= =2 ，
∵AB=CD=2，AD=BC=4，
∵△ABE∽△DBA，
∴ ，
即 ，
∴AE= ；故③正確；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=45°，
∴∠ACF=45°﹣∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，
∴∠EAC=2∠ACF，
∵∠EAC=∠ACF+∠F，
∴∠ACF=∠F，
∴AF=AC，
∵AC=BD=2 ，
∴AF=2 ，故④正確；
故選C．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．