Question

如圖，分別以三角形三邊為直徑向外作三個半圓，如果較小的兩個半圓面積之和等于較大的半圓面積．
求證：這個三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：先設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，再分別求出以三邊為直徑的半圓的面積，根據(jù)較小的兩個半圓面積之和等于較大的半圓面積即可得到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀即可．

解答：證明：設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，則以AC為直徑的半圓面積=

πb2

8

，
以BC為直徑的半圓面積=

πa2

8

；以AB為直徑的半圓面積=

πc2

8

，
∵較小的兩個半圓面積之和等于較大的半圓面積，
∴

πb2

8

+

πa2

8

=

πc2

8

，
即a²+b²=c²，
∴此三角形是直角三角形．

點評：本題考查的是勾股定理的逆定理及圓的面積公式，能根據(jù)題意得出△ABC的三邊關(guān)系，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出其形狀是解答此題的關(guān)鍵．