Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l1：分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C，且與直線(xiàn)l2：交于點(diǎn)A．

（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2）若D是線(xiàn)段OA上的點(diǎn)，且△COD的面積為12，求直線(xiàn)CD的解析式

（3）在（2）的條件下，設(shè)P是射線(xiàn)CD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，3）；（2）y=﹣x+6；（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的P，其坐標(biāo)為（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．

【解析】（1）把x=0，y=0分別代入直線(xiàn)L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐標(biāo)，解由直線(xiàn)BC和直線(xiàn)OA的方程組即可求出A的坐標(biāo)；（2）設(shè)D（x，x），代入面積公式即可求出x，即得到D的坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式；（3）存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)能寫(xiě)出Q的坐標(biāo)．

（1）解方程組，得， ∴A（6，3）；

（2）設(shè)D（x， x），

∵△COD的面積為12，∴×6×x=12，

解得：x=4，∴D（4，2），

設(shè)直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，

把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，

∴直線(xiàn)CD解析式為y=﹣x+6；

（3）在直線(xiàn)l1：y=﹣x+6中，當(dāng)y=0時(shí)，x=12，

∴C（0，6）

存在點(diǎn)P，使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

如圖所示，分三種情況考慮：

（i）當(dāng)四邊形OP1Q1C為菱形時(shí)，由∠COP1=90°，得到四邊形OP1Q1C為正方形，此時(shí)OP1=OC=6，即P1（6，0）；

（ii）當(dāng)四邊形OP2CQ2為菱形時(shí)，由C坐標(biāo)為（0，6），得到P2縱坐標(biāo)為3，

把y=3代入直線(xiàn)直線(xiàn)CQ的解析式y(tǒng)=﹣x+6中，可得3=﹣x+6，解得x=3，此時(shí)P2（3，﹣3）；

（iii）當(dāng)四邊形OQ3P3C為菱形時(shí)，則有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，設(shè)P3（x，﹣x+6），

∴x2+（﹣x+6﹣6）2=62，解得x=3或x=﹣3（舍去），此時(shí)P3（3，﹣3+6）；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的P，其坐標(biāo)為（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．