Question

閱讀下列材料：若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，則x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．
解決下列問題：
已知：a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a＞b＞c，關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根為2．
（1）填空：4a+2b+c

 

0，a

 

0，c

 

0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用閱讀材料中的結(jié)論直接寫出方程ax²+bx+c=0的另一個(gè)實(shí)數(shù)根（用含a，c的代數(shù)式表示）；
（3）若實(shí)數(shù)m使代數(shù)式am²+bm+c的值小于0，問：當(dāng)x=m+5時(shí)，代數(shù)式ax²+bx+c的值是否為正數(shù)？寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可知拋物線開口向上，所以得到a大于0，又拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸得到c小于0，由方程ax²+bx+c=0有一根為2，得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），代入拋物線的解析式即可得到4a+2b+c=0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之積為

c

a

，而一根為2，即可求出另一根；
（3）根據(jù)第（2）表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，又根據(jù)（1）中判斷出的a與c的正負(fù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可判斷出A在B的左側(cè)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，am²+bm+c），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+5，y），根據(jù)二次函數(shù)圖象可知點(diǎn)M在x軸的下方的拋物線上，即可得到點(diǎn)A，點(diǎn)B以及點(diǎn)M橫坐標(biāo)的大小，把關(guān)于m的不等式兩邊都加上5，即可得到N的橫坐標(biāo)的范圍，然后利用做差法判斷出點(diǎn)N與點(diǎn)B橫坐標(biāo)的大小，得到兩點(diǎn)都在對稱軸的右邊，根據(jù)對稱軸右邊拋物線的圖象為增函數(shù)，且x=2時(shí)的函數(shù)值為0，得到y(tǒng)大于0，即當(dāng)x=m+5時(shí)，代數(shù)式ax²+bx+c的值為正數(shù)．

解答：解：（1）∵4a+2b+c=0，
∴a，b，c至少有一個(gè)為正，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，
①當(dāng)a＞0，c＞0時(shí)候，則b＞0，所以4a+2b+c＞0，與4a+2b+c=0矛盾，不合題意；
②當(dāng)a＞0，c＜0時(shí)候，所以4a+2b+c可能等于0，
∴a＞0，c＜0；
故答案為：=，＞，＜．

（2）由題意可知：x₁x₂=2x₂=

c

a

，解得：另一根x₂=

c

2a

；（4分）

（3）答：當(dāng)x=m+5時(shí)，代數(shù)式ax²+bx+c的值是正數(shù)．
理由如下：
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），則由題意可知，它經(jīng)過A(

c

2a

，0)，B（2，0）點(diǎn)．
∵a＞0，c＜0，∴拋物線y=ax²+bx+c開口向上，且

c

2a

＜0＜2，即點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．（5分）
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（m，am²+bm+c），點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（m+5，y）．
∵代數(shù)式am²+bm+c的值小于0，∴點(diǎn)M在拋物線y=ax²+bx+c上，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)．
∴點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上．（如圖）∴x_A＜x_M＜x_B，即

c

2a

＜m＜2．
∴

c

2a

+5＜m+5＜7，即

c

2a

+5＜xN＜7．
以下判斷

c

2a

+5與x_B的大小關(guān)系：
∵4a+2b+c=0，a＞b，a＞0，
∴(

c

2a

+5)-xB=(

c

2a

+5)-2=

6a+c

2a

=

6a-(4a+2b)

2a

=

a-b

a

＞0．
∴

c

2a

+5＞xB．∴xN＞

c

2a

+5＞xB．（6分）
∵B，N兩點(diǎn)都在拋物線的對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴y_N＞y_B，即y＞0．
∴當(dāng)x=m+5時(shí)，代數(shù)式ax²+bx+c的值是正數(shù)．（7分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用閱讀材料中給出的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷得出a、b及c的符號，是一道多知識的綜合題．