Question

(本小題10分)已知拋物線：．點(diǎn)F(1，1)．
(Ⅰ) 求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(Ⅱ)
①若拋物線與y軸的交點(diǎn)為A．連接AF，并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B，求證：
②拋物線上任意一點(diǎn)P（）)（）．連接PF．并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q（），試判斷是否成立？請(qǐng)說明理由；
(Ⅲ) 將拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭疲�得拋物線：，若時(shí)．
恒成立，求m的最大值．

Answer 1

解 (I)∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()．
(II)①根據(jù)題意，可得點(diǎn)A(0，1)，
∵F(1，1)．
∴AB∥x軸．得AF=BF=1，

②成立．
理由如下：

如圖，過點(diǎn)P（）作PM⊥AB于點(diǎn)M，則FM=，PM=（）
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又點(diǎn)P（）在拋物線上，
得，即
∴
即．
過點(diǎn)Q（）作QN⊥B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，
同理可得．
圖文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF
有
這里，
∴
即
(Ⅲ) 令，
設(shè)其圖象與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，且<，
∵拋物線可以看作是拋物線左右平移得到的，

觀察圖象．隨著拋物線向右不斷平移，，的值不斷增大，
∴當(dāng)滿足，．恒成立時(shí)，m的最大值在處取得。
可得當(dāng)時(shí)．所對(duì)應(yīng)的即為m的最大值．
于是，將帶入，
有
解得或（舍）
∴
此時(shí)，，得
解得，
∴m的最大值為8解析:
略