Question

24、如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上任一動點(diǎn)，將一60°角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)D處，它的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與直線a交于點(diǎn)E．
（1）若D恰好在BC的中點(diǎn)上（如圖1）求證：△ADE是等邊三角形；
（2）若D為直線a上任一點(diǎn)（如圖2），其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出EC=CD=DB，進(jìn)而可證得△ABD≌△ACE，從而可判斷出結(jié)論．
（2）在BC上截取CF，使DF=BC，從而證得△ABD≌△DFE，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵a∥AB，且△ABC為等邊三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴EC=CD=DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，且∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形；

（2）在BC上截取CF，使DF=BC，
∴BC-DC=DF-DC，即BD=CF，
由（1）△ABD≌△ACE得到BD=CE，
∴EC=FC，
又CE∥AB，∴∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形，
∠EDF+60°=∠BAD+60°，
∴∠EDF=∠BAD，
又DF=BC=AB，
∴△ABD≌△DFE，
∴AD=DE，即△ADE是等邊三角形．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，難度較大，注意基本性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．