Question

如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA，其中正確的有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線；
（2）根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
（3）由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．
（4）由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．

解答：解：①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三點(diǎn)共線；

②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；

③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．

④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE為等邊三角形，
∴DC=DB+BA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理等相關(guān)知識(shí)，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過程中的不變量．