Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）從當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；
（3）根據(jù)當(dāng)OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，
∴

9a+3b+3=0 16a+4b+3=1

，
解得：

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）假設(shè)存在，分兩種情況：
①當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PAB=90°，
如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)D為y軸上的點(diǎn)，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），
∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3=-x+3，
∴x²-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3，y=0（不合題意舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴點(diǎn)P、C、D重合，
②當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PBA=90°，
如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，
由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，
∴DF=4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），
∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3=-x+5，
∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍），
∴y=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，6），（0，3）；

（3）如圖3：作EM⊥AO于M，
∵直線AC的解析式為：y=-x+3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=

1

2

OE×OF，
OE最小時S_△FEO最小，
∵OE⊥AC時OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直線CA上，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=

3

2

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．