Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大��；
（2）請直接寫出A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD面積等于△ABC面積的3倍？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據(jù)半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)即可用三角形函數(shù)求出∠ACB的值．
（2）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑就叫可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點(diǎn)必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．
（4）根據(jù)A、B的坐標(biāo)可以求出AB的長度，由C的坐標(biāo)就可以計算出計算出△ABC的面積，設(shè)D（a，-a²+2a+2），當(dāng)D點(diǎn)在x軸的上方和下方兩種不同的情況計算就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∴sin∠CAH=

1

2

∴∠CAH=30°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°．

（2）A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，P（1，3

（3）∵頂點(diǎn)P（1，3）
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，把點(diǎn)A(1-

3

，0)代入，得
y=a（1-

3

-1）²+3，解得
a=-1
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+3或y=-x²+2x+2

（4）∵A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，
∴AB=2

3

．
∵C（1，1），
∴CH=1，
∴S_△ABC=

2 3 ×1

2

=

3

．
設(shè)D（a，-a²+2a+2），當(dāng)D在x軸的上方時，△ABD的AB邊上的高是-a²+2a+2，
∴

2 3 (-a2+2a+2)

2

=3

3

，解得：x=1，
∴D（1，3）．
當(dāng)D在x軸的下方時，△ABD的AB邊上的高是a²-2a-2，
∴

2 3 (a2-2a-2)

2

=3

3

，解得：x₁=1-

6

，x₂=1+

6

，
∴D(1-

6

，-3)，D(1+

6

，-3)，
綜上所述，D點(diǎn)的坐標(biāo)是：
D(1-

6

，-3)，D(1+

6

，-3)，D（1，3）．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的運(yùn)用及軸對稱的性質(zhì)．