Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半徑為

3

的⊙M與射線BA相切，切點(diǎn)為N，且AN=3．將Rt△ABC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；
（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長(zhǎng)度；
（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把三角形ABC繞A旋轉(zhuǎn)120°就能得到圖形．
（2）連接MQ，過M點(diǎn)作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長(zhǎng)；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據(jù)垂徑定理知QF就是弧長(zhǎng)PQ的一半．
（3）過M作AD的垂線設(shè)垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關(guān)系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．

解答：解：（1）如圖Rt△ADE就是要畫的圖形

（2）連接MQ，過M點(diǎn)作MF⊥DE，垂足為F，由Rt△ABC可知，NE=1，
在Rt△MFQ中，解得FQ=

2

，故弦PQ的長(zhǎng)度2

2

．

（3）AD與⊙M相切．
證明：過點(diǎn)M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=

3

，
在Rt△AMN中，tan∠MAN=

MN

AN

=

3

3

，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD與⊙M相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定，掌握切線的性質(zhì)很重要，難度不大．