Question

如圖（1）正方形ABCD和正方形AEFG，邊AE在邊AB上，AB=12，AE=6

2

．將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤45°）
（1）如圖（2）正方形AEFG旋轉(zhuǎn)到此位置，求證：BE=DG；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)∠BEA=120°時(shí)，試求BE的長(zhǎng)；
（3）BE的延長(zhǎng)線交直線DG于點(diǎn)Q，當(dāng)正方形AEFG由圖（1）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)；
（4）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻BF=BC？若存在，試求出DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（點(diǎn)Q即（3）中的點(diǎn)）

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6

2

，
∴AH=AE•sin60°=6

2

×

3

2

=3

6

，
EH=AE•cos60°=6

2

×

1

2

=3

2

，
在Rt△ABH中，BH=

AB2-AH2

=

122-(3 6 )2

=

90

=3

10

，
∴BE=BH-EH=3

10

-3

2

；

（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BD為直徑的

AD

，所對(duì)的圓心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=

2

AB=12

2

，
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)=

90•π•12 2

360

=3

2

π；

（4）由勾股定理得，AF=

2

AE=

2

×6

2

=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等邊三角形，
又∵AE=EF，
∴直線BE是AF的垂直平分線，
∴∠ABQ=

1

2

∠BAF=30°，
設(shè)BQ與AD相交于H，
則AH=AB•tan30°=12×

3

3

=4

3

，
∴DH=AD-AH=12-4

3

，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4

3

）×

3

2

=6

3

-6．