Question

寬與長(zhǎng)的比是

5 -1

2

的矩形叫黃金矩形．心理測(cè)試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱(chēng)的美感．現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：
第一步：作一個(gè)正方形ABCD；
第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于E；
第四步：過(guò)E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F．
請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形．

Answer 1

分析：此題首先設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)是2a，然后根據(jù)作圖中的方法分別用a表示出矩形的長(zhǎng)和寬，再進(jìn)一步求得它們的比值，根據(jù)黃金矩形的概念即可判斷．

解答：證明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N為BC的中點(diǎn)，
∴NC=

1

2

BC=a．
在Rt△DNC中，ND=

NC2+CD2

=

a2+(2a)2

=

5

a．
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=（

5

-1）a．
∴

CE

CD

=

( 5 -1)a

2a

=

5 -1

2

．
故矩形DCEF為黃金矩形．

點(diǎn)評(píng)：考查了黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金比的值．